可满足性模理论辅导

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  课程顾问-小管家 2023-04-22 19:37:52

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  可满足性模理论是什么？

  在计算机科学和数学逻辑中，可满足模理论(SMT)问题是一个关于用经典一阶等价逻辑表示的背景理论组合的逻辑公式的决策问题。在计算机科学中通常使用的理论示例有实数理论、整数理论和各种数据结构(如列表、数组、位向量等)的理论。SMT可以被看作是约束满足问题的一种形式，从而是约束编程的一种形式化方法。

  从形式上讲，SMT实例是一阶逻辑中的公式，其中一些函数和谓词符号有额外的解释，而SMT的问题是确定这样的公式是否可以满足。换句话说，想象一个布尔可满足性问题(SAT)的实例，其中一些二进制变量被一组合适的非二进制变量上的谓词替换。谓词是一个非二元变量的二元值函数。谓词的例子包括线性不等式（3x+2y-z≥4）或涉及未解释术语和函数符号的等式(f(f(u,v)v)=f(u,v)，其中f可满足模理论是两个论证的某个未指定的函数)。

  这些谓词根据各自指定的理论进行分类。例如，实变量上的线性不等式使用线性实算术理论的规则进行计算，而涉及未解释项和函数符号的谓词使用未解释函数与等式理论的规则进行计算(有时称为空理论)。其他理论包括数组和列表结构理论(对计算机程序的建模和验证很有用)，以及位向量理论(对硬件设计的建模和验证很有用)。子理论也是可能的:例如，差分逻辑是线性算法的子理论，其中每个不等式都被限制为具有形式x-y＞c ，变量x y和常数c。

  大多数SMT求解只支持其逻辑的无量词片段。

  如何求解？

  早期的尝试解决SMT实例涉及转化他们的布尔可满足性问题(例如,一个32位整数变量将由32个编码一位变量以适当的权重和也能进行操作,比如‘+’将取而代之的是低层位逻辑运算),通过这个公式得出一个布尔可满足性的求解器。这种方法是比较急切的方法，它有自己的优点:通过将SMT公式预处理为等效的SAT公式，可以“按现状”使用现有布尔可SAT的求解器，并随着时间的推移利用其性能和容量改进。另一方面，底层理论的高层次语义的丧失意味着布尔可SAT求解器必须付出比必要的更多的努力来发现“明显的”事实（比如x+y=y+x这种的整数加法）。

  这种观察导致了大量SMT求解器的开发，这些求解器将DPLL风格搜索的布尔可推理与处理给定理论中谓词的连接理论特定求解器(t -Solvers)紧密地集成在一起。这种方法被称为惰性方法。

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