高斯消元法辅导

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  课程顾问-小管家 2023-04-22 18:16:52

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  关于高斯消元法 

  高斯消元法，是线性代数中求解线性方程组的一种算法。它通常被理解为在相应的系数矩阵上执行的一系列操作。该方法还可用于求矩阵的秩，计算矩阵的行列式，以及计算可逆方阵的逆。该方法以卡尔·弗里德里希·高斯(1777-1855)的名字命名。早在公元179年左右，中国数学家就已经知道了这种方法的一些特例——尽管是在没有证明的情况下提出的。 

  要对矩阵执行行缩减，可以使用一系列基本行操作修改矩阵，直到矩阵的左下角尽可能地用零填充。 

  基本行操作有三种类型: 

  交换两行 

  将一行乘以一个非零数字 

  将一行的倍数添加到另一行 

  运用以上方法，一个矩阵总是可以被转换成一个上三角矩阵，实际上是一个行阶梯形。一旦所有的主系数(每一行中最左边的非零项)都为1，并且包含主系数的每一列在其他地方都为零，这个矩阵就称为行简化阶梯形。最终的形式是独特的;换句话说，它与所使用的行操作序列无关。

  例如，在接下来的行运算序列中(每一步可能进行多个初等运算)，第三和第四个矩阵是行简化阶梯形矩阵，最终的矩阵是唯一的行简化阶梯形矩阵。

  

  使用行操作将矩阵转换为简化的行梯队形式有时称为高斯-乔丹消去法。一些作者使用术语高斯消去法来指代该过程，直到它达到它的上三角形，或者(未简化的)行梯队形式。由于计算的原因，当求解线性方程组时，有时最好在矩阵完全约简之前停止行操作。 

  举例： 

  假设目标是找到并描述下列线性方程组的解集:

  

  下表是同时应用于方程组及其增广矩阵的行约简过程。在实践中，人们通常不使用方程来处理系统，而是使用增广矩阵，它更适合于计算机操作。行约简过程可以总结为:从L1以下的所有方程中消去x，再从L2以下的所有方程中消去y。这将使方程组变成三角形。然后，用反代换法求解每个未知数。

  

  一旦y也从第三行中删除，结果是三角形形式的线性方程组，因此算法的第一部分完成。从计算的角度来看，以相反的顺序求解变量更快，这一过程被称为反向替换。人们看到的解决办法是z= 1,y= 3，和x= 2。所以原始方程组有唯一的解。 第二列描述了刚刚执行了哪些行操作。所以第一步x从...中消除L2通过添加 3 / 2 L一到L2。接下来，x从...中消除L3通过添加L一到L3。这些行操作在表中标记为

  

  当矩阵是梯队形式时，我们可以继续，直到矩阵出现减少行梯队形式，因为它是在表中完成的。行减少直到矩阵减少的过程有时被称为高斯-乔丹消去法，以区别于达到梯队形态后停止。

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