数学金融MATH6127

课程内容：

本课程首先对投资风险的评估和度量进行了初步讨论，随后引入了均值-方差投资组合理论，并将其用于确定风险资产投资组合的风险和回报、此类投资组合的最优组合以及有效边界的位置。然后介绍了资产收益的单因素和多因素模型，并结合均值方差投资组合理论的概念，建立了均衡资产定价模型，如资本资产定价模型(CAPM)和套利定价理论(APT)。有效市场假说的各种形式就是在这种背景下讨论的。

然后，课程的注意力转向了证券价格的随机模型，如几何布朗运动，以及分析和求解基本随机微分方程所需的基本数学工具，即伊藤微积分，特别是伊藤积分和伊藤公式。随后，课程分阶段建立了衍生证券定价的方法，特别是期权定价。接着描述了衍生证券投资组合的管理。

最后，风险中性和国家价格缩减指数方法被应用于无风险利率的一般单因素扩散模型的零息债券和利率衍生品的定价，如Vasicek、Coss、Ingersoll和Ross以及Hull和White的模型。

课程大纲：

1、投资偏好中的效用函数及其规则：VNM定理，一阶和二阶随机优势，无差异曲线。

2、投资风险的评估和测量：回报分布、回报方差、回报下半方差、半离差、短缺概率、风险价值(VaR)、条件风险价值(CVaR也称为TVaR和AVaR)。投资者效用函数的作用。使用这些方法比较投资机会。

3、均值-方差投资组合理论：假设，有效边界，风险重组图，由许多风险资产组成的投资组合的预期收益和风险，最优投资组合。应用不同的优化标准来获得有和没有卖空的这种最优投资组合的构成。多样化的好处。

4、资产收益的单因素和多因素模型：宏观经济模型、基本面因素模型、统计因素模型、单指数模型。涉及此类模型的计算。可分散和不可分散风险。

5、均衡资产定价模型：CAPM，APT。此类模型的假设、主要结果和局限性。涉及此类模型的计算。

6、有效市场假说的三种形式。支持和反对每种形式的证据。投资管理的后果。

7、证券价格的随机模型：对数正态和替代模型。涉及随机定价模型的计算。参数估计。

8、布朗运动：定义和基本性质。随机微分方程、伊藤积分和伊藤公式。扩散和均值回复过程。随机微分方程的解，如几何布朗运动和奥恩斯坦-乌伦贝克过程。

9、期权估价。套利。影响期权价格的因素。期权价格的界限。看跌期权平价。使用二叉树和格的期权估价。二项式格的风险中性定价度量及其在股票期权估价中的应用。

10、利率期限结构模型。针对无风险利率的一般单因素扩散模型的零息债券和利率衍生品定价的风险中性和州价格平减指数方法。Vasicek，Cox-Ingersoll-Ross和Hull-White利率期限结构的单因素模型。

11、信用风险建模：结构模型，如Merton，简化模型，如Jarrow-Turnbull模型。用回收率计算零息债券的价格。

学习成果：

成功完成本课程后，学生将能够：

1、定义术语套利和完全市场，并描述在二项式点阵和布莱克-斯科尔斯环境下期权估价的风险中性定价方法；

2、定义和求解随机微分方程，如几何布朗运动和奥恩斯坦-乌伦贝克过程；

3、使用证券价格的随机模型进行计算，如对数正态模型或威尔基模型；

4、定义期权合约的Greeks，并展示对如何在衍生品投资组合的风险管理中使用这些合约的理解；

5、描述资产回报的单因素和多因素模型的主要类型，并使用这些模型进行计算；

6、使用均值-方差投资组合理论，计算由许多风险资产组成的投资组合的预期收益和风险，这种投资组合的最优构成，以及有效边界的位置；

7、展示对简单结构和简化形式信贷风险模型的理解，如默顿模型，并将其应用于可违约债券的定价；

8、定义术语鞅、等价鞅测度和州价格平减指数，推导布莱克-斯科尔斯方程的加曼-科尔哈根形式，并使用鞅方法对简单的衍生产品合约进行定价和套期保值；

9、展示对投资风险的理解，以及如何使用不同的风险衡量方法(如VaR和CVaR)来衡量投资风险；

10、展示对利率期限结构的理解，以及使用风险中性和州价格平减指数方法对零息债券和无风险利率单因素模型的利率衍生品进行估值，如Vasicek、Cox、Ingersoll和Ross以及Hull和White的模型；

11、定义并解释布朗运动的基本性质，展示对随机微分方程和伊藤积分的理解，并应用伊藤公式；

12、展示对投资风险和回报之间的关系、多样化的好处以及可分散风险和不可分散风险之间的区别的理解；

13、陈述并讨论有效市场假说的三种形式；

14、使用二项式模型和布莱克-斯科尔斯模型计算期权价格。