A-level纯数学部分涉及多个数学主题的内容考察,比如二次函数、坐标几何、三角学等主题。下面我们给同学们分享几道考试题目,后面有答案解析,需要复习的小伙伴可以参考。遇到不会做的数学题,大家也可以找考而思1V1A-level数学补习老师补课!
1.A circle has the equation ( x2-4x+y2+6y = 12 ) and center ( C ).
a) Find the area of the circle.
b) Find the coordinates of the center ( C ) of the circle.
c) Point ( A(6,-6) ) is on the circle. Find the coordinates of point ( B ) such that ( AB ) is a diameter of circle.
解析:
我们首先把给定圆的方程写成标准形式(x−h)2+(y−k)2=r2
以点(h,k)为中心,半径为r。
对给定方程中x项和y项的平方进行补全:(x−2)2−4+(y+3)2−9=12
写成标准形式,左边留下平方(x−2)2+(y+3)2=25
(a)将上述方程与一般标准方程(x−h)2+(y−k)2=r2进行比较,确定半径r
r2 =25,得到r=5
圆的面积= πr2=25π平方单位
b)将式(I)与上面给出的一般标准方程进行比较,确定(h,k)处的中心
h = 2和k =−3
中心C在(2,−3)处
c)设(x0,y0)为点b的坐标,中心C
圆的圆心也是线段(直径)AB的圆心。
线段中心坐标的公式为:(x0+6)/2=2和[y0+(−6)]/2=−3
解上式得
X0 =−2,y0=0
B点
使得AB
直径有坐标
(x0, y0) =(−2,0)
下面是给定圆的图形,点A和点B
和中心C,以验证上面的计算。
2.Prove that [2cosx+sin(2x)]/[2sinx+2sin2x]=cotx
解析:
我们从给定恒等式的左边开始用已知的恒等式证明它等于右边。
用倍角三角恒等式sin(2x)=2sinxcosx在分子上把等式左边改写成
2 cosx + sin (2 x)]/ [2 sinx + 2 sin2x ]= [2 cosx+2sinxcosx]/ [2sinx+2sin2x]
把分子上的2cosx和分母上的2sinx提出来,把上面的式子写成
= 2 cosx(1 + sinx) /2sin (1 + sinx)
分子分母同时除以1+sinx,化简得到
= cosx/sinx = cotx
3.The graph of f given by f(x)=x3−2x2−5x+6 intersects the x axis at x=1
a) Write f(x) as a product of linear factors.
b) Solve the equation x3−2x2−5x+6=0.
c) Use the results of part b) to solve the equation e−6x−2e−4x−5/e2x+6=0.
解析:
a)由于f的图像在x=1处与x轴相交,所以x- 1是f(x)的一个因子,可以写成
f(x)=(x−1)Q(x)其中Q(x)=f(x)/(x−1)=x3−2x2−5x+6/(x−1)
对x3−2x2−5x+6/(x−1)进行多项式除法,得到Q(x)=x2−x−6,可因式分解为Q(x)=(x−3)(x+2)
因此f(x)作为线性因子的乘积为f(x)=(x−1)Q(x)=(x−1)(x−3)(x+2)
b)方程x3−2x2−5x+6的左边等于f(x)前面已经因式分解了。因此要解的方程可以写成因式分解为(x−1)(x−3)(x+2)=0
上述方程的解是通过将每个因子设为零,然后求解得到:x=1, x=3和x= - 2。
c)令z=e - 2x,得到z2=(e - 2x)2=e - 4x和z3=(e - 2x)3=e - 6x
代入方程e−6x−2e−4x−5/e2x+6=0,得到z中的方程:z3−2z2−5z+6=0
上述方程已部分解出
B)以上,因此有解决方案
Z =1=e - 2x,得到解x=0
Z =3=e−2x,得到解x=−ln3/2≈−0.54930
Z = - 2=e - 2x它在x中没有实解因为e - 2x总是正的。
给定方程的解集为:{0,−ln3/2}
下面是c部分方程右侧的图形和x坐标为给定方程解的x截距。
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