概率论与数理统计MATH6122

课程内容：

本课程是为第一学位是数学或以数学技能发展为重要组成部分的其他学科(科学、工程、经济学、定量社会科学)的研究生设计的。虽然所涵盖的内容在技术水平上类似于本科数学课程，但知识量要大得多，授课的速度也相应快得多。因此，这门课要求学生具备研究生水平的学习技能。

本课程由三个子模块组成，分别是概率和分布理论、统计推断和统计建模，如以下教学大纲所述。

课程大纲：

1、概率论：

• 基本概念；公理；加法定律；独立性

• 随机变量和概率分布；期望值、矩和方差

• 分布函数

• 离散和连续分布；计算概率和期望值

• 随机变量的变换

• 示例：二项式、泊松、指数、正态等

• 生成函数；属性和应用；累积量

• 联合分配；独立性；协方差和相关性

• 条件概率；贝叶斯定理；复合分布

2、统计推断：

• 抽样概念；样本和总体；抽样分布

• 中心极限定理；正常近似值

• 点估计；效率；偏差；一致性；均方差；矩量法

• 置信区间；正态、泊松和二项式示例

• 假设检验；术语；正态、泊松和二项式例子；拟合优度检验

• 可能性；最大似然估计及其渐近性质

• 贝叶斯思想；先验和后验分布

3、统计建模：

• 汇总数据；汇总统计；简单的图形显示

• 回归和线性模型；最小二乘估计；回归系数的推断

• 比较模型；多元回归；残差和模型批评；预测

• 方差分析

• 使用适当的软件(比如R)将多元线性回归模型拟合到数据集并解释输出

• 广义线性模型：指数族；逻辑回归

• 统计模型选择的概念和方法；假设检验方法

• 信息标准

学习成果：

成功完成本课程后，学生将能够：

1、使用回归模型调查变量之间的关系。

2、解释独立性、联合分布随机变量和条件分布的概念，利用生成函数建立独立随机变量线性组合的分布。

3、回忆统计模型选择的原则，并应用一系列不同的方法进行模型选择。

4、解释贝叶斯统计推断的原理。

5、使用逻辑回归模型分析二元响应变量对解释变量的依赖性。

6、描述估计的主要方法和估计量的主要性质，并进行应用。

7、解释随机变量、概率分布、分布函数、期望值、方差和高阶矩的概念，并计算与随机变量分布相关的期望值和概率。

8、解释随机抽样、统计推断和抽样分布的概念，并陈述和使用基本抽样分布。

9、使用适当的软件(比如R)将多元线性回归模型拟合到数据集并解释输出。

10、测试统计假设。

11、回顾广义线性模型的定义。

12、解释方差分析的概念，并用来研究因子相关性。

13、解释复合分布的概念，并进行应用。

14、构建未知参数的置信区间。

15、解释概率的概念，包括条件概率。

16、定义概率生成函数、矩生成函数、累积量生成函数和累积量，在简单情况下进行推导，并用来计算矩。

17、定义基本的离散和连续分布，能够在简单的情况下应用和模拟。

18、陈述中心极限定理，并进行应用。

19、总结数据集的主要特征(探索性数据分析)。

20、解释似然性的概念，推导简单模型的似然性和相关函数。