向量和矩阵MA148

课程内容：

许多数学和科学问题都可以通过将其简化为多个变量的线性方程组来解决。即使对于无法通过这种方法解决的问题，通常也可以通过求解线性方程组来获得近似解，即“最佳线性近似”。

处理线性方程组的数学分支被称为线性代数，其主要思想是向量空间和从一个向量空间到另一个向量空间的线性映射。线性代数讨论了向量空间中基的概念、向量空间的维度、线性映射的像和核、线性映射的秩和空值，以及用矩阵表示线性映射。这些理论概念有许多应用，都将在本课程中讨论。这些应用包括：线性方程组的求解。向量的性质。矩阵的性质，如秩、行消元、特征值和特征向量。行列式的性质和计算方法。

课程目标：

本课程旨在让学生对矩阵和向量空间有实际理解，以便为后续课程的学习打下基础，并教授学生基本矩阵运算和线性方程求解的实用技术和算法。

课程大纲：

1、向量空间：R上的向量空间、函数、多项式、R^n、欧几里得空间、子空间。

2、基：线性相关性和独立性、基的跨度、基的存在（在有限跨度空间中的筛选）、维度、正交基、正交基中的向量表示。

3、线性映射：线性映射f：V-->W，例子，向量空间的同构，矩阵和线性映射之间的对应关系，基变换，行和列运算，线性方程的求解，核，像，秩，行秩和列秩，史密斯标准形，秩-空性定理。

4、线性变换：线性映射f：V-->V，方阵，行列式，Det(AB) = Det(A)Det(B)，小行列式，协行列式，伴随矩阵，矩阵的逆，行列式是一个体积。

5、对角化：特征值和特征向量及其几何意义，2x2矩阵，具有不同特征值的矩阵的对角化，对称矩阵的对角化。

6、欧几里德空间上的线性映射。

学习成果：

在本课程结束时，学生应能够：

1、理解向量空间、线性相关性和独立性、基和维度。

2、掌握线性变换的概念。

3、熟悉矩阵操作、使用行和列操作减少矩阵，并能够应用于线性方程的求解。

4、能够计算一般n x n矩阵的行列式。

5、掌握矩阵的特征值和特征向量的计算及其几何意义。

6、熟悉欧几里德空间之间的线性变换。