集合与数MA138

课程内容：

本课程旨在向学生展示通过抽象的数学推理可以得出什么结论。大学数学逐渐引入越来越抽象的概念和结构，对证明的要求也越来越高，直到数学学位课程结束时，学生的大部分时间都用于理解证明和创建自己的证明。本课程将弥合高中和大学数学之间的差距，从一些相当具体的方法开始，重点放在计算上，并逐渐转向抽象和证明。

课程大纲：

1、数字：

- 数字系统：自然数、整数、有理数和实数。非有理数的存在。

- 欧几里得算法；最大公因数和最小公倍数。

- 质数、质因数分解的存在性和唯一性。

- 交换性、结合性和分配性的性质。

- 质数的无穷性。

- 整数求和级数；归纳法证明。

2、语言：

- 基本集合论：交集、并集、维恩图和德摩根定律。

- 逻辑连接词、或、暗示及其与交集和并集的关系。

3、多项式：

- 多项式的乘法和长除法。

- 二项式定理。

- 多项式的欧几里得算法。

- 余数定理；n次多项式最多有n个根。

- 有理函数和部分分数。

- 实数的非完备性，复数的完备性。

4、计数：

- 作为对射、单射和全射练习的基础组合学。

- 集合X的子集集的基数大于X的基数。

- 罗素悖论。

- 笛卡尔积的定义。

- 有理数的可数性，实数的不可数性。

课程的第二部分探讨了被称为群的基本代数结构的基本属性。群在数学及其他领域中有着广泛的应用，可用于分析几何对象或物理系统的对称性。

5、模运算：

- 整数模n的加法、乘法和除法。

- 模运算的一些定理。

- 等价关系。

6、置换和对称群：

- 乘法（合成）置换。

- 周期和不相交周期表示。

- 置换的符号。

- 基本群论。

学习成果：

在本课程结束时，学生应能够：

1、使用数制并熟练掌握其属性。

2、学习集合和量词、函数和关系的语言。

3、熟悉各种证明方法和风格。