英国大学本科预科数学课程预习辅导

　　Hello~大家好，想要去英国留学的同学们最近学习进度怎么样了呢，有没有遇到什么无法理解的难题和课程。今天学姐为同学们分享数学专业课程相关理论，希望可以帮助广大留学生梳理思路，学姐整理了非常详细的流程细节可以参考。

　　方向场和数值方法

　　学习目标

　　1、画出给定一阶微分方程的方向场。

　　2、用方向场画一阶微分方程的解曲线。

　　3、用欧拉方法逼近一阶微分方程的解。

　　创建方向字段

　　方向场(也称为斜率场)对于研究一阶微分方程很有用。特别地，我们考虑一阶微分方程的形式

　　y′=f(x,y).(8.2.1)

　　这种类型的微分方程的一个应用例子出现在牛顿冷却定律中，我们将在本章后面明确求解。首先，让我们为微分方程创建一个方向场

　　T'(t)=−0.4(T−72).(8.2.2)

　　这里 T(t) 表示对象在某一时间的温度(华氏温度) t ，环境温度为 72°F 。数字 8.2.1 显示了该方程的方向字段。

　　数字 8.2.1 :微分方程的方向字段 T'(t)=−0.4(T−72) 。绘制了两个解:一个初始温度小于 72°F 另一种是初始温度高于 72°F 。

　　方向场背后的思想是这样一个事实，即在给定点计算的函数的导数是该函数在同一点的图的切线的斜率。我们可以为其创建方向场的微分方程的其他示例包括

　　y′=3x+2y−4(8.2.3)

　　y′=x2−y2(8.2.4)

　　y′=2x+4y−2.(8.2.5)

　　为了创建方向场，我们从第一个方程开始: y′=3x+2y−4 。我们让 (x0,y0) 可以是任何有序对，我们把这些数字代入微分方程的右边。例如，如果我们选择 x=1 和 y=2 ，代入微分方程的右边，得到

　　y'=3x+2y−4=3(1)+2(2)−4=3.

　　这告诉我们如果微分方程的解 y′=3x+2y−4 穿过这个点 (1,2) ，则该点处解的斜率必须等于3。为了开始创建方向场，我们在该点放置一个短线段 (1,2) 有坡度 3 。在函数的定义域中，我们可以对任何一点都这样做 f(x,y)=3x+2y−4, 它由所有有序对组成 (x,y) 在 R2 。因此，笛卡尔平面上的任何点都有一个与之相关的斜率，假设微分方程的解通过该点。微分方程的方向场 y'=3x+2y−4 如图所示 8.2.2 。

　　使用方向字段

　　我们可以在不知道实际解的情况下，使用方向场来预测微分方程解的行为。例如，图中的方向字段 8.2.3 作为微分方程解的行为指南 y′=3x+2y−4.

　　要使用方向场，我们从选择场中的任意一点开始。那一点的线段就像一个路标，告诉我们从那里往哪个方向走。例如，如果微分方程的解通过该点 (0,1), 那么通过该点的解的斜率由下式给出 y′=3(0)+2(1)−4=−2. 现在让 x 略微增加，对说 x=0.1 。利用线性近似的方法，给出了一个近似计算公式 y 为 x=0.1. 特别是，

　　L(x)=y0+f'(x0)(x−x0)=1−2(x0−0)=1−2x0.(8.2.6)

　　取代 x0=0.1 到…里面 L(x) 给出一个近似值 y 的价值 0.8 。

　　此时，解的斜率发生变化(再次根据微分方程)。我们可以继续前进，当我们向右迈出一小步时，重新计算解决方案的斜率，并观察解决方案的行为。数字 8.2.3 显示了穿过该点的解的图形 (0,1) 。

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